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圓的一個有趣性質(zhì)

來源:本站原創(chuàng) 點(diǎn)擊率: 發(fā)布: 2012-4-29

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　對于圓的定義，我想就不用我說，今天所說的這個，是圓的一個性質(zhì)，但是這個性質(zhì)和圓錐曲線非常類似，而正如我們所知道的，圓可以看做是一種特殊的不得了的橢圓，所以個人經(jīng)常把他看做圓的定義，雖然這個非常不妥。
　　
　　定理：和兩已知點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)(不等于1)的點(diǎn)的軌跡是一個圓周。
　　
　　設(shè)a、b為已知點(diǎn)，求點(diǎn)m的軌跡，使得比ma/mb為一不等于1的常數(shù)m。
　　
　　顯然c點(diǎn)是一點(diǎn)，ma/mb=ac/cb,利用“角平分線定理”的逆定理知，mc為角amb的角平分線。而md外分線段ab，da/db=ma/mb，可以知道m(xù)d平分角amb的外角。這個性質(zhì)可以利用三角形相似以及三角形的面積公式證得。在此先忽略，各位若對此有問題的話，可以留言，如果有必要，我單獨(dú)起文說明。
　　
　　由此可以知道，角cmd=90°，所以m點(diǎn)在圓周上。
　　
　　這個定義是不是和圓錐曲線的定義很相似？圓錐曲線的定義是到定點(diǎn)和定直線的距離之比為一常數(shù)，而這個是到兩個頂點(diǎn)的距離之比為一常數(shù)。從另外一個角度看，我們還可以看出一些其余的端倪：
　　
　　如果這個比值為1，那么m的軌跡就是ab的垂直平分線，如果比值不為1，那就是一個圓。也就是說，線段在這里可以看成當(dāng)圓的半徑趨于無窮大時候的極限情況。這個看似荒唐的結(jié)論其實(shí)非常重要，在比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論里，往往是把直線看成一種特殊圓的，在這里很難說清楚，不過有一個例子可以一窺其妙，那就是托勒密定理。大家可以參考這篇文章：<托勒密定理探究>，也可以參考維基百科的一些資料：關(guān)于托勒密定理。（來源：學(xué)夫子數(shù)學(xué)博客）